北师大版九年级数学下册3.7切线长定理1教学设计反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版九年级数学下册3.7切线长定理1教学设计反思》

《北师大版九年级数学下册3.7切线长定理1教学设计反思》这是一篇九年级下册数学教案，在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.

*3.7切线长定理

1．理解切线长的定义；(重点)

2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)

一、情境导入

如图①，PA为⊙O的一条切线，点A为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？

二、合作探究

探究点：切线长定理

【类型一】利用切线长定理求线段的长

如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是()

A．10

B．12

C．53

D．103

解析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A.

方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型二】利用切线长定理求角的度数

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型三】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．

解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥PA.根据勾股定理，得PA＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．

解：连接OA，则OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.

方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题

如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．

解析：直接利用切线长定理解答即可．

解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.

方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合

如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．

解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；

(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．

(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；

(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝22.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半径是2－2.

方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形．

【类型六】利用切线长定理解决存在性问题

如图①，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点(P不与M，D重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E.

(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?YJS21.Com

(2)求四边形CDPF的周长；

(3)延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

解析：(1)根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．

解：(1)FB＝FE，PE＝PA；

(2)四边形CDPF的周长为FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；

(3)假设存在点P，使BF•FG＝CF•OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF•tan∠GFC＝CF•tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG•tan∠PGD＝DG•tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.

方法总结：由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．

三、板书设计

切线长定理

1．切线长的概念

2．切线长定理

3．切线长定理的应用

在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.

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北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线教学设计反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线教学设计反思》

《北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线教学设计反思》这是一篇八年级下册数学教案，本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.

6．3三角形的中位线

1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)

2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)

一、情境导入

如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？

二、合作探究

探究点：三角形的中位线

【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长

如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为()

A.32B．3C．6D．9

解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.

方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．

【类型二】利用三角形中位线定理求角

如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为()

A．80°B．90°C．100°D．110°

解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，故选A.

方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．

【类型三】运用三角形的中位线性质进行证明

如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．

解析：为证MN为△BCD的中位线，应根据三线合一，得到DM＝MC，即可解决问题．

解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝12(5－3)＝1.

方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．

【类型四】中位线定理的综合应用

如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．

解：AB＝2OF.

证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在平行四边形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.∴在△ABF和△ECF中，∠BAF＝∠CEF，AB＝CE，∠ABF＝∠BCE，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.

方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．

三、板书设计

1．三角形的中位线

连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．

2．三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.

【反思】

中位线

三角形的中位线定理是三角形中很重要的性质之一。“遇中点，找中点”，就是在几何图形中，如果遇到线段的中点，通常会找到另一相关线段的中点，构造三角形的中位线，利用三角形的中位线的性质达到解题的目的，可见三角形的中位线在几何证明中应用有多么广泛。

一、教材分析

这节课主要内容是三角形的中位线概念及三角形中位线定理，教学所要达到的目标是：

1、知识技能：理解三角形中位线的概念，会证明三角形中位线定理，并能熟练地应用它进行有关的证明和计算。

2、数学思考：经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系。

3、问题解决：经过动手实践，观察、测量、猜想、验证，体会定理推理的过程。

4、情感态度：培养学生合情推理意识，形成几何思维，体会几何学在日常生活中的应用价值。

教学重点：三角形中位线定理。

教学难点：三角形中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法。

二、本节课亮点

1、情景设疑，层层深入

课前先让学生准备三角形纸片，我以分三角形蛋糕为情景，设置了3个问题，让学生通过折纸探究：

问题一：你能把这块三角形蛋糕平均分为2个人吗？

问题二：如果是平均分为4个人呢？

问题三：如果再提高要求，除了大小相同，形状也要相同，又该怎么分呢？

对于问题一，学生能很快找到三角形边上的中点，连接中点和顶点，形成中线，根据三角形中线的性质，就能得到2个面积相等的三角形；

对于问题二，学生会想到在问题一的基础上，再找到同边上另两个中点，形成3条中线，就有4个面积相等的三角形；或是找到另两边的两个中点，中点与中点连接，形成4个面积相等的三角形，但这4个三角形并不全等；

问题三又提高难度，要求分成4个全等的三角形，学生已有了前两个问题的提示，也不难想到，可以连接三个中点，但如何验证这4个三角形的面积就是全等的呢？这时，课前准备的三角形纸片起到作用，我们可以通过剪下其中一个三角形，看看是否重合。

通过这三个问题的探究，不仅复习了中线的性质，也引出了中位线的概念，也为接下来中位线定理的探究起到铺垫的作用。

2、自主探索，勇于表达

在探究中位线定理时，我始终作为一个引导者，学生是解决问题的主人。学生通过小组讨论交流，上台展示，畅所欲言，各抒己见。从为题的题设和结论到证明添加辅助线的解答，全部由学生合作完成，同学们想到用“倍长中线法”和“旋转法”证明。在这个过程中，有解说了一半思路不清，而寻求底下同学帮助的，也有同学想到用折叠的方法，但因存在不合理条件被其他同学举手反驳的，证明方法就在同学们的讲解讨论中越辩越明，即使是基础薄弱的同学也被这求真的氛围吸引，若有所思。同学们乐于自主探究，敢于上台分享自己的思路想法，大方自信，表达清晰完整，这也是我们教师所需要培养学生的素养能力。

3、发散思维、一题多解

在中位线的应用中，我鼓励学生拓宽思维，尝试着多种方法解决问题。如：

例1：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

这道题学生用了三种方法：

方法一：连接AC和BD，因为中位线定理，EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,所以EF∥HG,EH∥FG,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即证出四边形EFGH是平行四边形。

方法二：连接AC和BD，因为中位线定理，EF=1/2AC,HG=1/2AC，EH=1/2BD,FG=1/2BD,所以EF=HG,EH=FG，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即证出四边形EFGH是平行四边形。

方法三：连接AC，因为中位线定理，EF∥AC，EF=1/2AC,HG∥AC,HG=1/2AC,所以EF=HG,EF∥HG，根据一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，即证出四边形EFGH是平行四边形。

练习1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．求证：DF=BE．

这道题学生用了四种方法：

方法一：根据中位线定理，证明△DAF≌△EFC，可得DF=EC，因为EC=BE,所以DF=BE。

方法二：如图1，取AB的中点G,连接GF,证明△DAF≌△GAF,可得DF=GF，根据中位线定理，可证四边形CBEF是平行四边形，所以GF=BE，所以DF=BE。

方法三：如图2，连接AE,根据中位线定理，可证四边形DAEF是平行四边形，所以DF=AE，且∠BAC=∠EFC=90°，所以EF是AC的垂直平分线，所以EC=AE,EC=BE,则DF=BE。

方法四：如图3，取AB的中点G,连接GE,根据中位线定理，可证四边形AGEF是平行四边形，可得AF=GE，证明△DAF≌△BGE,则DF=BE。

三、本节课不足及改进

1、应适当渗透“倍长中线法”

在探究中位线定理时，同学们的证明方法其实是“倍长中线法”，我可以再进行补充总结，适当拓宽知识点深度，让同学们遇到证明线段数量关系时，有倍长的意识，为即将升上九年级的同学们打下基础，减轻繁杂的知识负担。

2、应合理分配时间，详略得当

在中位线应用的习题上，例1和变式都属于利用中位线证明平行四边形，我在例1上花了时间让同学们分享多种解法，在变式上则可不再铺展开赘述，可把更多的时间留到拓展提升题上，学生有更充分的时间思考及书写证明过程。

3、在习题选取上应贴切中考

在拓展提升题中，有一道是利用中位线探究三角形周长和面积的规律问题，在课后评课中，一直从教中考毕业班有经验的老师建议我：“这种题中考不会出现，选题时应结合中考形势选题，从大量习题中选出精题优题。”这也是我接下来改进与提升的方向。

四、对课堂的思考

作为一名初中数学教师，应当在教学实践中注重学生数学思维方式的培养，在传授知识的同时，引导学生掌握数学方法、体会数学思维。走出课堂或学校后，真正能遗留在学生记忆中，依靠数学解决问题才是真正的数学核心素养。教师在课堂中应为学生提供充足的机会、提供土壤和平台，让学生在课堂中扮演主要角色，引导学生自己发现问题、解决问题，释放每个学生的数学潜能，多给学生机会发表自己的观点。总之，数学教师应尽力做到以数学知识为载体，培养学生数学思维，为学生数学核心素养的培养奠定基础。

北师大版数学四年级下册《等量关系》教案设计反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版数学四年级下册《等量关系》教案设计反思》

《北师大版数学四年级下册《等量关系》教案设计反思》这是一篇四年级下册数学教案，本节课通过儿童喜闻乐见的跷跷板导入，创设了生动有趣的教学情境。借助课件直观演示的方式使学生感受平衡和不平衡状态。在教学过程中，学生始终是从生活情境中感知等式，尝试用数学知识来描述情境。在不断寻找和交流中，让学生从具体情境中找到等量关系。

上课解决方案

教案设计

设计说明

在数学课上，我们经常利用等量关系解决一些简单的实际问题，但是单把这项知识拿出来理解，学生就会有些茫然无措。为了使学生对等量关系有直观的理解，并能从具体的情境中抽象出这种关系，在教学设计上注重了两个方面：

1．关注“情境”在教学中的作用。

本节课通过儿童喜闻乐见的跷跷板导入，创设了生动有趣的教学情境。借助课件直观演示的方式使学生感受平衡和不平衡状态。在教学过程中，学生始终是从生活情境中感知等式，尝试用数学知识来描述情境。在不断寻找和交流中，让学生从具体情境中找到等量关系。

2．充分发挥“自主探究”的学习精神。

本节课，引导学生通过观察、猜测、讨论、比较、合作交流等活动找到等量关系，以小组合作的形式进行自主探究，获得基本的数学知识和技能，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的自信心。如在表示妹妹的身高与姚明、笑笑身高的关系环节中，让学生通过观察、讨论、交流，找到各种等量关系。本节课给学生提供了归纳、类比、猜测、交流、反思的时间与空间，使学生的思维能力得到了进一步的提高。

课前准备

教师准备PPT课件

教学过程

⊙创设情境，导入新课

1．谈话引入。

(1)根据生活经验想象老师和学生玩跷跷板的情境，跷跷板会怎样？

(2)想办法让跷跷板平衡。

设计意图：创设和老师玩跷跷板的情境，并想办法让跷跷板平衡，不仅能激发学生的学习兴趣，还能为下一环节做好铺垫。

2．观察主题图。

(课件逐一出示动物玩跷跷板的情境图)

(1)观察图上信息，想办法让跷跷板平衡。

(2)用语言描述当跷跷板平衡时谁和谁的质量是相等的。

(3)全班交流，发现1只鹅的质量相当于2只鸭子和1只鸡的质量。

3．揭示课题。

通过刚才的讨论我们知道了“1只鹅的质量相当于2只鸭子和1只鸡的质量”，这就是等量关系。(板书：等量关系)

设计意图：跷跷板是学生熟悉的生活事物，同时又是体现等量关系的生活原型，既能充分调动学生的已有生活经验，又能帮助学生理解什么是等量关系。

⊙合作交流，探究新知

1．根据数据分析数量关系，探索表示等量关系的方法。

课件出示教材64页第二幅情境图。

(1)提问：从图中你发现了哪些数学信息？

学生看图，收集并交流发现的数学信息。

(2)根据这些信息，请你表示出妹妹的身高与姚明、笑笑身高的关系。

提示：可以用画图或文字的形式表示这些等量关系。

师：哪两个人的身高有关系？

(同桌交流，全班汇报)

预设生1：画图表示如下：

生2：我用式子表示，妹妹身高×2＝姚明身高，妹妹身高＋20厘米＝笑笑身高。

2．组织学生讨论：有的同学找出了这样的等量关系，你能看懂吗？

①姚明身高÷2＝妹妹身高

②笑笑身高－20厘米＝妹妹身高

③姚明身高÷2＝笑笑身高－20厘米

思考：与上一问题相比，哪些是同一等量关系的不同表现形式？哪些是上一个问题中没有的等量关系？它是怎样得到的？

引导学生进行观察比较，说出自己的发现。

小结：刚才我们在他们的身高关系中竟然找到了这么多的等量关系，还发现了同一个等量关系有不同的表现形式。

设计意图：由于这三句话是相互联系的，所以先把第二幅情境图全部出示给学生，再让学生自己进行审题、分析，提高学生分析信息的能力；然后确定等量关系，积累学生关于发现、表达等量关系的学习经验；最后展示并交流表示等量关系的方法，帮助学生进一步理解“相等”的关系，明确等量关系的意义。

⊙巩固练习，拓展应用

1．填空。

(1)果园里有桃树a棵，平均每棵桃树收桃子360千克，果园共收桃子()千克。

(2)打字员小王每分打字90个，一份稿件她打了m分还剩c个字没打。这份稿件一共有()个字。

(3)苹果和香蕉的单价分别是每千克4.5元和6元，买x千克苹果和y千克香蕉共需要()元。

(4)五个连续的整数，其中最小的数是n，这五个连续的整数的和是()。

2．完成教材65页1题。

引导学生先观察和描述平衡时跷跷板两边的情况，再用式子表示等量关系。

3．完成教材65页2题。

结合具体情境找出数量间的等量关系，可以画图表示，也可以用式子表示。

⊙全课总结

说说你今天的收获。

⊙布置作业

教材65页4、5题。

板书设计

等量关系

1只鹅的质量＝2只鸭子的质量＋1只鸡的质量

妹妹身高×2＝姚明身高

妹妹身高＋20厘米＝笑笑身高

姚明身高÷2＝妹妹身高

笑笑身高－20厘米＝妹妹身高

姚明身高÷2＝笑笑身高－20厘米

【反思】

等量关系存在于数学学习的任何阶段，学生在大量的解决问题的过程中都要使用到等量关系。同时找等量关系是列方程解决问题的关键，因此，教材为等量关系安排了独立的课时进行学习，为后面方程的认识和列方程解决问题打下良好的基础。它隶属于“数与代数”的范畴，等量关系是方程的核心，等量关系实质就是代数思维、方程思想。史宁中教授认为：方程的本质是“在讲两个故事，这两个故事在数量上相等”。但因其抽象性，对于四年级学生来讲，理解起来有一定困难。怎样才能让孩子们通过数学思考，灵活地运用“等量关系”来解决实际问题呢？带着这些思考，我尝试以直观体验为主线，由直观感受等量关系到操作体验等量关系，由浅入深，由易到难，层层递进。从课堂上孩子们展现的思维过程中，使我欣喜地看到：孩子们在有经历、有体验的数学活动中，通过有效的数学思考，很好地学会了找“等量关系”的方法。

一、创设情景感受等量关系

对本节课的教学内容“等量关系”，学生或多或少有一些认识，但不具体、不规范。为此，我利用学生所熟悉的生活经验，合理处理教材，准确定位。如课一开始，我用跷跷板这一生活中常见的量让学生感知它既有“此起彼伏”的时候，也有左右平衡的时候，它的平衡就表示了两端是“相等”的。进而由鸡、鸭、鹅在跷跷板上的平衡现象，使学生明白了不仅仅两个完全相同的东西之间是等量关系，不同的东西之间只要重量（某一个特征）相等，他们也能构成等量关系。借助直观跷跷板帮助学生初步建立“=”用来表示“左边和右边数量相同的一种平衡状态”的观念，通过“不等”和“相等”两种状态的比较，强化相等状态的认识，并从直观上理解等量关系就是两边的量一样多，并建立等量关系的天平模型的直观表象。同时以学生喜闻乐见讲数学故事形式引入，也大大提高了学生的学习兴趣和欲望。

二、探究交流理解等量关系

通过根据跷跷板找等量关系、根据天平找等量关系、根据数量关系图找等量关系、根据信息（关键句）找等量关系。引导学生借助直观的天平模型，用等式表示等量关系。帮助学生理解等式的实质是左边放的和右边放的数量相等。引导学生将文字描述的数量关系，借助天平模型转化成等量关系，让学生从原先的直观天平操作，过渡到表象操作（根据数量关系图在脑中想象一个平衡的天平），再到抽象操作（把想象的天平转化成等式），经历完整的抽象过程。“小羊、小鹿、小马”三只小动物比身高的情境。在学生思考分析的基础上，让学生通过写一写、画一画等形式，体会相等关系，学会找等量关系。并了解到它们之间可以相互翻译。用“数形结合”的思想，鼓励不同层次的学生充分展示各自的思维过程，体验同一种数量关系可以用不同的等量关系式来表示的共同属性。再引导学生切身经历对比、优化的过程，提高了学生用不同的等量关系式表示相同的数量关系的能力。这样的教学，既提高了学生用“等量关系式”表达生活原型的模型意识，又提升了学生构建“等量关系式”这一模型的能力，为后续学习列方程解决问题夯实了基础。随着对“等量关系”问题的直观感知，隐藏在直观感知中的数学思想方法会逐渐显现出来，教师就学要从更多的角度帮助学生认识等量关系。在这里，我利用教材提供的素材：他们还找到了这样的等量关系，你能看懂吗？帮助学生认识到同规格等量关系可以用不同在形式表达，它们之间也是可以互相替代的。从而渗透“等量代换”的思想。不难发现，学生对“等量关系”这一问题的建模需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深，逐步积累形成的过程。在这个过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者和引导者，去“敲打”学生的思维，让学生在一次次的“敲打”过程中，积累、感悟、直到学会应用。

以上，只是针对本课中自己感到成功的片段进行的反思。虽有欣喜和成功，但同时还有一些遗憾：在学生发言时，为了赶时间，也没能让学生充分地叙述自己的想法，而是急于将孩子们引导到预设的解题思路中来，相信如果当时放心让孩子们相互叙述、补充，会是很精彩的，因为好多学生的解题思路相当清晰。在以后的课堂中我要力求做个“傻老师”，将尽量多的时间和空间留给学生，放心将课堂交给他们，一定会有更精彩的表现

北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思》

《北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思》这是一篇九年级下册数学教案，本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.

3.8圆内接正多边形

1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)

2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)

3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)

一、情境导入

这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

二、合作探究

探究点：圆内接正多边形

【类型一】圆内接正多边形的相关计算

已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．

解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的周长和面积．

解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝3，sin∠OBC＝OHOB＝32，∴OB＝BC＝2.∴内角为180°×（6－2）6＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×12×2×3＝63.

方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题

【类型二】圆内接正多边形的画法

如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；

(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圆规截取AC︵＝AB︵；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合

如图，已知正三角形的边长为2a.

(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？

(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？

(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．

解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝a.则S圆环＝π•OB2－π•OD2＝πOB2－OD2＝π•BD2＝πa2；

(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；

(3)结果一样，即S圆环＝πa2；

(4)S圆环＝πa2.

方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型四】圆内接正多边形的实际运用

如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心(下列各题结果精确到0.1m)．

(1)求地基的中心到边缘的距离；

(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．

解：(1)作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝15×26＝5.2，∴AM＝2.6.在Rt△AMO中，边心距OM＝AMtan36°＝2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m；

(2)3.6－1－1.6＝1(m)．

所以，塑像底座的半径最大约为1m.

方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．

三、板书设计

圆内接正多边形

1．正多边形的有关概念

2．正多边形的画法

3．正多边形的有关计算

本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.

北师大版一年级下册《跳绳》公开课教学设计反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版一年级下册《跳绳》公开课教学设计反思》

《北师大版一年级下册《跳绳》公开课教学设计反思》这是一篇一年级下册数学教案，本节数学课，用跳绳比赛这一学生熟悉的活动情境引出学习内容，提出数学问题，使学生体会到数学知识来源于生活实际，用数学知识解决实际问题的道理。

教学内容：跳绳

教学目标：

1、探索并掌握两位数减两位数退位减法的计算方法，进一步体会计算法多样化。

2、发展初步的会算意识和解决实际问题的能力。

教学重点：探索两位数减两位数退位减的计算方法。

教学过程：

一、情境引入。

通过跳绳的活动，引入。

1、先引导学生看懂主题图中的统计表，然后让学生提出总是也可以让学生进行模拟表演，并记录学生当时跳绳的次数，让学生提出数学问题。

2、学生可能会提出很多总是可以先引导学生先解决类似“小东比小红跳几下”这样的问题

3、让学生尝试列出算式。

二、解决问题。

鼓励学生用自己的方法尝试解决问题，并在小组和全班进行交流。

教科书上三种方法是学生在探索的过程中可能出现的方法，不是要求每个学生都要掌握的。对一些有困难的学生要及时给帮助。

三、试一试。

让学生根据统计表独立列出算式，用自己喜欢的方法计算。

四，想一想。

100——48，先让学生估算，然后放手让学生独立试算。

五、练习反馈。

1、用竖式计算。

请4位学生板演，再集体校对，

2、买一个羽毛球拍多少钱？

先让学生看懂图意，再列式解答，交流说说自己是怎样想的？

3、第3题中（）+40的答案不唯一。可先让学生进行猜测，如果是其它数，它就无家可归了。

【反思】

本节数学课，用跳绳比赛这一学生熟悉的活动情境引出学习内容，提出数学问题，使学生体会到数学知识来源于生活实际，用数学知识解决实际问题的道理。在教学过程中，我设计让学生说一说、画一画、试一试等教学环节，给学生充分的学习自主权，让学生在活动中探索新知，勇敢地试，从而培养学生主动探索新知的意识以及学习的能力。

在整个教学过程中，以组织者、引导者、参与者的身份出现，学生才是学习活动的主体。在学习活动中，学生通过说、画、写等数学实践活动，不仅感受到数学与生活的联系，还学会如何观察、如何思考以及如何表达自己的想法，进而形成初步的数学能力。练习中的数学游戏和数学故事，既紧扣本节课的教学内容，又调动了学生的积极性，使得课堂气氛十分活跃。本节课的不足之处是，前面内容说得较多，以至后面的数学故事时间紧，学生讨论时间少了。今后在时间分配上还需多考虑。