不等式课件。
经验时常告诉我们，做事要提前做好准备。在幼儿教育工作中，我们都有会准备一写需要用到资料。资料包含着人类在社会实践，科学实验和研究过程中所汇集的经验。有了资料的协助我们的工作会变得更加顺利！所以，关于幼师资料你究竟了解多少呢？小编现在推荐你阅读一下不等式的课件收藏，相信能对大家有所帮助。
不等式的课件 篇1
基本不等式是初中数学比较重要的一个概念，对于求解不等式问题有非常大的作用。在教学中，老师可以通过多学示例，呈现形式多样，让学生深刻理解基本不等式的本质和应用，使学生在解决实际问题中灵活掌握相关知识。本文将结合基本不等式的定义、性质和应用，探讨其相关主题。
一、基本不等式的定义和性质
基本不等式是在解决实际问题时常用到的一种数学方法，它可以有效地帮助我们解决很多实际问题。在数学中，一般把基本不等式定义为，对于任何正整数a和b，有下列不等关系：
(a+b)^2>=4ab
这个不等式在初中数学中非常重要，我们还可以把它解释成下面的形式：对于任何两个正数a和b，有下列不等式：
a/b+b/a>=2
这个式子实际上就是基本不等式的一个特例，也说明了基本不等式中的a和b可以指任何两个正数。
基本不等式的一些性质：
1、两边同时乘以正数或是开根号（即不改变不等关系的实质）是允许的。
2、当a=b时等号成立。
3、当a不等于b时，不等号成立。
这些性质是我们用基本不等式时需要注意的几个关键点。如果我们了解了这些基本的性质，就可以更加灵活地运用基本不等式解决实际问题。
二、基本不等式的应用
基本不等式的应用非常广泛，例如可以用它来解决以下问题：
1、证明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
这个问题就可以使用基本不等式来证明，首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2)，将式子化简可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2，这就是想要证明的结论。
2、解决一些最值问题。例如：如何使a+b的值最小？这个问题可以用基本不等式来解决，我们设a+b=k，那么a+b的平方就是k^2，代入基本不等式中可得出：
k^2>=4ab，即（a+b）^2>=4ab
这个不等式右边是4ab，左边则是（a+b）^2，因此a+b的值取得最小值时，应当使（a+b）^2=4ab，所以a=b，因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、证明一些平方和不等式的结论。例如：
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
这个问题可以通过基本不等式进行证明，首先我们设x=a/b，y=b/a，很显然有x+y>=2，然后通过简单的运算可得：x^2+y^2>=2，也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
综上所述，基本不等式作为初中数学比较重要的一部分，其定义、性质和应用都与实际问题密切相关。在解决实际问题时，我们可以通过多学示例，灵活运用基本不等式的性质和应用，进而更好地理解其本质和应用，从而使初中数学知识更加牢固。
不等式的课件 篇2
(1)运用问题的形式帮助学生整理全章的内容,建立知识体系。
(2)在独立思考的基础上,鼓励学生开展小组和全班的交流,使学生通过交流和反思加强对所学知识的理解和掌握,并逐步建立知识体系。
通过问题情境的设立，使学生再现已学知识,锻炼抽象、概括的能力。解决问题
通过具体问题来体会知识间的联系和学习本章所采用的主要思想方法。
通过独立思考获取学习的成功体验，通过小组交流培养合作交流意识,通过大胆发表自己的观点,增强自信心。
重点:对一元一次不等式基本性质的掌握;理解不等式(组)解及解集的含义，会解简单的一元一不等式(组),并会在数轴上表示其解集;会解相关的问题,建立起相关的知识体系。
不等式有哪些基本性质?它与等式的性质有什么相同和不同之处?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同?引导学生回忆解一元一次方程的步骤.比较两者之间的不同学生举例回答.
举例说明在数轴上如何表示一元一不等式(组)的解集分组竞赛.看哪一组出的题型好,全班一起解答.
举例说明不等式、函数、方程的联系.引导学生回忆函数的有关内容.举例说明三者之间的关系.小组讨论,合作回答.函数性质、图象
小组交流、讨论不等式和函数、函数和方程等之间的关系,分别举例说明.
布置作业开动脑筋,勇于表达自己的'想法.
(1)在运用所学知识解决具体问题的同时,加深对全章知识体系理解。
(2)发展学生抽象能力、推理能力和有条理表达自己想法的能力.
教学思考：
体会数学的应用价值,并学会在解决问题过程中与他人合作.解决问题。在独立思考的基础上,积极参与问题的讨论,从交流中学习,并敢于发表自己的观点和主张,同时尊重与理解别人的观点。
情感态度与价值观:
进一步尝试学习数学的成功体验，认识到不等式是解决实际问题的重要工具,逐渐形成对数学活动积极参与的意识。
重点:
对一元一次不等式基本性质的掌握;理解不等式(组)解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式(组),并会在数轴上表示其解集;会解相关的问题,建立起相关的知识体系。
↓ ↓
安排一组练习让学生充分充分讨论解决.
(1)当X取何值时,Y>0(2)当X取何值时,Y=0(3)当X取何值时,Y
3.某工人制造机器零件,如果每天比预定多做一件，那么8天所做零件超过100件;如果每天比预定少做一件，那么8天所做零件不到90件，这个工人预定每天做几个零件?
不等式的课件 篇3
一元二次不等式是高中数学中的一个重要概念，是指一个带有二次项的不等式。在数学学习中，我们经常需要利用二次不等式来解决问题，掌握这个概念对于深入了解高中数学知识是至关重要的。因此，学习一元二次不等式是高中数学学习中的一大难点，需要认真对待。
一元二次不等式的概念和性质
一元二次不等式可以写成如下形式：
ax² + bx + c > 0
或
ax² + bx + c
其中a、b、c都是实数，a ≠ 0。
我们可以通过一些方法求出不等式的根，比如将其转化为标准形式。将不等式变形，我们可以得到如下形式：
ax² + bx
或
ax² + bx > – c
然后，我们再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解，就能够得到它的解集。
对于不等式ax² + bx + c > 0，其图像为二次函数的上凸形，即开口向上的抛物线，而对于不等式ax² + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多，下面我们介绍其中的两种：
方法一：化为标准形式，再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二：利用符号法将不等式中的式子化简，得到一系列不等式，然后将这些不等式求解即可。
实际上，解一元二次不等式还有很多其他的方法，比如绝对值法、图形法等等。在解题时，我们要根据具体的情况选择最合适的方法来求解。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式广泛应用于数学学习以及生活中的各个领域，比如物理学、经济学、社会学等。下面我们以生活中的一个例子来说明一元二次不等式的应用。
假设你要购买一台电视机，商家提供了两种方案供你选择。方案一：首付1500元，每月还款100元；方案二：首付3500元，每月还款80元。那么，你需要比较两个方案的总花费，来决定哪个方案更加划算。
我们假设电视机的总价格为x元。那么，方案一的总花费为：
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的总花费为：
C2 = 3500 + 80×n
这里n为分期的期数，即你需要还款的总期数。为了比较两种方案的划算程度，我们可以列出一个一元二次不等式：
1500 + 100×n
经过化简，我们可以得到：
20n > 2000
n > 100
因此，当还款期数大于100期时，方案一比方案二更加划算。这个例子很好地展示了一元二次不等式的应用，它能够帮助我们在日常生活中做出明智的选择，也能够更加深入地理解数学知识。
总结
一元二次不等式是高中数学学习中的重要概念，它在数学中和生活中都有广泛的应用。学习一元二次不等式需要我们认真对待，掌握其概念、性质和解法，同时也需要我们理解其实际应用，这样才能够更好地掌握高中数学的知识。
不等式的课件 篇4
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.
在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.
1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.
2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.
3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.
教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.
思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.
1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?
2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?
3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?
4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?
活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.
实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA
实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.
对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.
讨论结果：
(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.
点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比较下列各组数的大小(a≠b).
(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4与4a3(a-b).
活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.
已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.
活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.
∵x>y，∴x-y>0.
当y
当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.
例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.
活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.
解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.
点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.
已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )
2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.
2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.
1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.
2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.
3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.
1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.
2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
当a>b>0时，ab>1，a-b>0，
则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
则(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.
不等式的课件 篇5
基本不等式是初中数学中重要的一章内容，也是高中数学和竞赛数学的基础。基本不等式的学习不仅有助于提高学生的数学素养和解题能力，同时也能帮助他们提高逻辑思维能力。本文旨在探讨“基本不等式”这一主题。
一、基本不等式的定义与性质
基本不等式是说：对于正实数x1，x2，…，xn，有
（x1+x2+…+xn）/n≥√（x1x2…xn），当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立。
基本不等式的性质有以下几条：
（1）当n为偶数时，等号成立；
（2）当n为奇数时，当且仅当所有数相等时等号成立；
（3）两个数的平均数不小于它们的几何平均数，即(a+b)/2≥√(ab)，其中a,b均为正实数且a≠b；
（4）当n≥3时，三个数的平均数不小于它们的几何平均数，即(a+b+c)/3≥√(abc)，其中a,b,c均为正实数且a≠b≠c。
二、基本不等式的应用
基本不等式作为一种重要的数学工具，可以应用于众多问题之中。以下是基本不等式的一些常见应用。
1. 求和式的最小值
例题1：已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18，其中x1，x2，x3，x4，x5均为正数，并且x1+x2+x3+x4+x5≥5，则x1x2x3x4x5的最小值为多少？
解法：根据已知条件，设x1+x2+x3+x4+x5=5+m（其中m≥0），则有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得：
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移项得到x1x2x3x4x5≥1，则x1x2x3x4x5的最小值为1。
2. 比较函数大小
例题2：比较函数f(x)=√(a²+x²)+√(b²+(c-x)²)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法：根据已知条件和基本不等式，将f(x)分解成两个正数的平均数不小于它们的几何平均数的形式，即
f(x)=[√(a²+x²)+√(b²+(c-x)²)]/2+1/2[√(a²+x²)+√(b²+(c-x)²)]
≥√[(√(a²+x²)×√(b²+(c-x)²)]+1/2(2c)
=√(a²+b²+c²+ab-ac-bc)+c
当x=c/3时等号成立，即f(x)的最小值为√(a²+b²+c²+ab-ac-bc)+c，最大值为√(a²+b²+c²+ab+ac+bc)+c。
3. 求极限
例题3：已知数列{a_n}(n≥1)的通项公式为a_n=(√n+1)/(n+1)，则求∑(n从1到∞)a_n的极限。
解法：根据基本不等式，有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知条件，可得：
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
极限为1/2。
4. 求证不等式
例题4：已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1，证明∑(a/(1-a))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)。
解法：将不等式化简，得：
∑(a/(1-a))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)
⇔(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)
⇔(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)²-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1，有
(ab+bc+ca)≤a²+b²+c²,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)²/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)
其中第一个不等式成立是因为当a=b=c=1/3时，等号成立；第二个不等式用到了基本不等式的形式。
综上所述，基本不等式是数学中的重要概念，掌握了基本不等式的定义、性质和应用方法，将有助于提高人们的数学素养和解题能力。在日常生活和学习中，要重视基本不等式的学习和应用，逐步提高自己的数学水平。
不等式的课件 篇6
学生初步接触了一点代数知识（如用字母表示定律，用符号表示数），是在学生学习了用字母表示数以后基础上进行学习。应用方程是解决问题的基础，有关的几个概念，教材只作描述不下定义。在教学设计中仍然把理念作为教学的重点，理解方程的意义，判断“等式”和“方程”知道方程是一个“含有未知数的等式”，才有可能明确所谓解方程。
学生不够活泼，学习积极性不是很高，学生数学基础不好。方程对学生来说还是比较陌生的，在他们头脑中还没有过方程这样的表象，所以授新课就要从学生原有的`基础开始，因为在前面学习用字母表示数的这部分内容时，有了基础，我想在学习简易方程应该没什么大的问题。
1、使学生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意义。
2、会按要求用方程表示出数量关系，
3、培养学生的观察、比较、分析能力。
教学重点： 用字母表示常见的数量关系，会用方程的意义去判断一个式子是否是方程。
教师介绍天平各部分名称。让学生操作当天平两端托盘的物体的质量相等时，天平就会平衡，指针指向中。根据这这个原理来称物体的质量。（让学生操作，激发学生的兴趣，借助实物演示的优势。初步感受平衡与不平衡的表象）
1、实物演示，引出方程：
（1）在天平称出100克的左边空杯，让学生观察是否平衡，感受1只空杯=100克。
（2）往空杯里倒入果汁，另一边加100克法码，问学生发现了什么？ （让学生感受天平慢慢倾斜，水是未知数）引出100+X＞200，往右加100克法码， 问：哪边重些？（学生初步感受平衡和不平衡的表象） 问：怎样用式子表示？100+X＜300
（3）教学100+X=250 问：如果是天平平衡怎么办？（让学生讨论交流平衡的方案）把100克法码换成50克的砝码，这时会怎样？（引导学生观察这时天平出现平衡）， 问：现在两边的质量怎样？现在水有多重知道吗？如果用字母X表示怎样用式子表示？得出：100+X=250
示题：100+X＜250100+X=2504X+50＞10040+40=80 X÷2=45X-12=27
请学生观察合作交流分类：
（一）引出（1）两边不相等，叫做不等式。（2）两边相等叫做等式。
（2）含有未知数的等式100+X=250 X÷2=4 揭示：（2）这样的含有未知数等式叫做方程（通过分类，培养学生对方程意义的了解） 问：方程的具备条件是什么？（感知必须是等式，而一定含有未知数）你能写出一些方程吗？（同桌交流检查）
（三）练习判断那些是方程？那些不是方程？
6+2X=14103+X250÷2=1256+X＞251÷A=3X+Y=180 （让学生加深对方程的意义的认识，培养学生的判断能力。）
教师：我们能够判断什么是方程了，方程和等式有很密切的关系，你能画图来表示他们的关系吗？（小组合作讨论交流）
方程 等式 （让学生通过观察、思考、分析、归类，自主发现获得对方程和等式的关系理解，同时初步渗透教学中的集合思想。）
不等式的课件 篇7
基本不等式作为高中数学必修内容之一，在学生学习中扮演着极为重要的角色。本篇文章将围绕基本不等式，探讨它的概念、性质、证明方法及应用，并展示基本不等式的魅力和实用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整数 $n$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
这个不等式也被称为均值不等式或AM-GM不等式。其中，$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示这些数的算术平均值，而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示这些数的几何平均值。均值不等式的意义在于，算术平均数大于等于几何平均数。
二、基本不等式的性质
基本不等式有以下几个性质：
1. 当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时等号成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一个数为 id="article-content1">
不等式课件。
经验时常告诉我们，做事要提前做好准备。在幼儿教育工作中，我们都有会准备一写需要用到资料。资料包含着人类在社会实践，科学实验和研究过程中所汇集的经验。有了资料的协助我们的工作会变得更加顺利！所以，关于幼师资料你究竟了解多少呢？小编现在推荐你阅读一下不等式的课件收藏，相信能对大家有所帮助。
不等式的课件 篇1
基本不等式是初中数学比较重要的一个概念，对于求解不等式问题有非常大的作用。在教学中，老师可以通过多学示例，呈现形式多样，让学生深刻理解基本不等式的本质和应用，使学生在解决实际问题中灵活掌握相关知识。本文将结合基本不等式的定义、性质和应用，探讨其相关主题。
一、基本不等式的定义和性质
基本不等式是在解决实际问题时常用到的一种数学方法，它可以有效地帮助我们解决很多实际问题。在数学中，一般把基本不等式定义为，对于任何正整数a和b，有下列不等关系：
(a+b)^2>=4ab
这个不等式在初中数学中非常重要，我们还可以把它解释成下面的形式：对于任何两个正数a和b，有下列不等式：
a/b+b/a>=2
这个式子实际上就是基本不等式的一个特例，也说明了基本不等式中的a和b可以指任何两个正数。
基本不等式的一些性质：
1、两边同时乘以正数或是开根号（即不改变不等关系的实质）是允许的。
2、当a=b时等号成立。
3、当a不等于b时，不等号成立。
这些性质是我们用基本不等式时需要注意的几个关键点。如果我们了解了这些基本的性质，就可以更加灵活地运用基本不等式解决实际问题。
二、基本不等式的应用
基本不等式的应用非常广泛，例如可以用它来解决以下问题：
1、证明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
这个问题就可以使用基本不等式来证明，首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2)，将式子化简可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2，这就是想要证明的结论。
2、解决一些最值问题。例如：如何使a+b的值最小？这个问题可以用基本不等式来解决，我们设a+b=k，那么a+b的平方就是k^2，代入基本不等式中可得出：
k^2>=4ab，即（a+b）^2>=4ab
这个不等式右边是4ab，左边则是（a+b）^2，因此a+b的值取得最小值时，应当使（a+b）^2=4ab，所以a=b，因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、证明一些平方和不等式的结论。例如：
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
这个问题可以通过基本不等式进行证明，首先我们设x=a/b，y=b/a，很显然有x+y>=2，然后通过简单的运算可得：x^2+y^2>=2，也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
综上所述，基本不等式作为初中数学比较重要的一部分，其定义、性质和应用都与实际问题密切相关。在解决实际问题时，我们可以通过多学示例，灵活运用基本不等式的性质和应用，进而更好地理解其本质和应用，从而使初中数学知识更加牢固。
不等式的课件 篇2
(1)运用问题的形式帮助学生整理全章的内容,建立知识体系。
(2)在独立思考的基础上,鼓励学生开展小组和全班的交流,使学生通过交流和反思加强对所学知识的理解和掌握,并逐步建立知识体系。
通过问题情境的设立，使学生再现已学知识,锻炼抽象、概括的能力。解决问题
通过具体问题来体会知识间的联系和学习本章所采用的主要思想方法。
通过独立思考获取学习的成功体验，通过小组交流培养合作交流意识,通过大胆发表自己的观点,增强自信心。
重点:对一元一次不等式基本性质的掌握;理解不等式(组)解及解集的含义，会解简单的一元一不等式(组),并会在数轴上表示其解集;会解相关的问题,建立起相关的知识体系。
不等式有哪些基本性质?它与等式的性质有什么相同和不同之处?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同?引导学生回忆解一元一次方程的步骤.比较两者之间的不同学生举例回答.
举例说明在数轴上如何表示一元一不等式(组)的解集分组竞赛.看哪一组出的题型好,全班一起解答.
举例说明不等式、函数、方程的联系.引导学生回忆函数的有关内容.举例说明三者之间的关系.小组讨论,合作回答.函数性质、图象
小组交流、讨论不等式和函数、函数和方程等之间的关系,分别举例说明.
布置作业开动脑筋,勇于表达自己的'想法.
(1)在运用所学知识解决具体问题的同时,加深对全章知识体系理解。
(2)发展学生抽象能力、推理能力和有条理表达自己想法的能力.
教学思考：
体会数学的应用价值,并学会在解决问题过程中与他人合作.解决问题。在独立思考的基础上,积极参与问题的讨论,从交流中学习,并敢于发表自己的观点和主张,同时尊重与理解别人的观点。
情感态度与价值观:
进一步尝试学习数学的成功体验，认识到不等式是解决实际问题的重要工具,逐渐形成对数学活动积极参与的意识。
重点:
对一元一次不等式基本性质的掌握;理解不等式(组)解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式(组),并会在数轴上表示其解集;会解相关的问题,建立起相关的知识体系。
↓ ↓
安排一组练习让学生充分充分讨论解决.
(1)当X取何值时,Y>0(2)当X取何值时,Y=0(3)当X取何值时,Y
3.某工人制造机器零件,如果每天比预定多做一件，那么8天所做零件超过100件;如果每天比预定少做一件，那么8天所做零件不到90件，这个工人预定每天做几个零件?
不等式的课件 篇3
一元二次不等式是高中数学中的一个重要概念，是指一个带有二次项的不等式。在数学学习中，我们经常需要利用二次不等式来解决问题，掌握这个概念对于深入了解高中数学知识是至关重要的。因此，学习一元二次不等式是高中数学学习中的一大难点，需要认真对待。
一元二次不等式的概念和性质
一元二次不等式可以写成如下形式：
ax² + bx + c > 0
或
ax² + bx + c
其中a、b、c都是实数，a ≠ 0。
我们可以通过一些方法求出不等式的根，比如将其转化为标准形式。将不等式变形，我们可以得到如下形式：
ax² + bx
或
ax² + bx > – c
然后，我们再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解，就能够得到它的解集。
对于不等式ax² + bx + c > 0，其图像为二次函数的上凸形，即开口向上的抛物线，而对于不等式ax² + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多，下面我们介绍其中的两种：
方法一：化为标准形式，再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二：利用符号法将不等式中的式子化简，得到一系列不等式，然后将这些不等式求解即可。
实际上，解一元二次不等式还有很多其他的方法，比如绝对值法、图形法等等。在解题时，我们要根据具体的情况选择最合适的方法来求解。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式广泛应用于数学学习以及生活中的各个领域，比如物理学、经济学、社会学等。下面我们以生活中的一个例子来说明一元二次不等式的应用。
假设你要购买一台电视机，商家提供了两种方案供你选择。方案一：首付1500元，每月还款100元；方案二：首付3500元，每月还款80元。那么，你需要比较两个方案的总花费，来决定哪个方案更加划算。
我们假设电视机的总价格为x元。那么，方案一的总花费为：
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的总花费为：
C2 = 3500 + 80×n
这里n为分期的期数，即你需要还款的总期数。为了比较两种方案的划算程度，我们可以列出一个一元二次不等式：
1500 + 100×n
经过化简，我们可以得到：
20n > 2000
n > 100
因此，当还款期数大于100期时，方案一比方案二更加划算。这个例子很好地展示了一元二次不等式的应用，它能够帮助我们在日常生活中做出明智的选择，也能够更加深入地理解数学知识。
总结
一元二次不等式是高中数学学习中的重要概念，它在数学中和生活中都有广泛的应用。学习一元二次不等式需要我们认真对待，掌握其概念、性质和解法，同时也需要我们理解其实际应用，这样才能够更好地掌握高中数学的知识。
不等式的课件 篇4
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.
在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.
1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.
2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.
3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.
教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.
思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.
1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?
2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?
3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?
4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?
活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.
实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA
实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.
对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.
讨论结果：
(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.
点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比较下列各组数的大小(a≠b).
(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4与4a3(a-b).
活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.
已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.
活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.
∵x>y，∴x-y>0.
当y
当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.
例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.
活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.
解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.
点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.
已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )
2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.
2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.
1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.
2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.
3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.
1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.
2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
当a>b>0时，ab>1，a-b>0，
则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
则(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.
不等式的课件 篇5
基本不等式是初中数学中重要的一章内容，也是高中数学和竞赛数学的基础。基本不等式的学习不仅有助于提高学生的数学素养和解题能力，同时也能帮助他们提高逻辑思维能力。本文旨在探讨“基本不等式”这一主题。
一、基本不等式的定义与性质
基本不等式是说：对于正实数x1，x2，…，xn，有
（x1+x2+…+xn）/n≥√（x1x2…xn），当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立。
基本不等式的性质有以下几条：
（1）当n为偶数时，等号成立；
（2）当n为奇数时，当且仅当所有数相等时等号成立；
（3）两个数的平均数不小于它们的几何平均数，即(a+b)/2≥√(ab)，其中a,b均为正实数且a≠b；
（4）当n≥3时，三个数的平均数不小于它们的几何平均数，即(a+b+c)/3≥√(abc)，其中a,b,c均为正实数且a≠b≠c。
二、基本不等式的应用
基本不等式作为一种重要的数学工具，可以应用于众多问题之中。以下是基本不等式的一些常见应用。
1. 求和式的最小值
例题1：已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18，其中x1，x2，x3，x4，x5均为正数，并且x1+x2+x3+x4+x5≥5，则x1x2x3x4x5的最小值为多少？
解法：根据已知条件，设x1+x2+x3+x4+x5=5+m（其中m≥0），则有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得：
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移项得到x1x2x3x4x5≥1，则x1x2x3x4x5的最小值为1。
2. 比较函数大小
例题2：比较函数f(x)=√(a²+x²)+√(b²+(c-x)²)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法：根据已知条件和基本不等式，将f(x)分解成两个正数的平均数不小于它们的几何平均数的形式，即
f(x)=[√(a²+x²)+√(b²+(c-x)²)]/2+1/2[√(a²+x²)+√(b²+(c-x)²)]
≥√[(√(a²+x²)×√(b²+(c-x)²)]+1/2(2c)
=√(a²+b²+c²+ab-ac-bc)+c
当x=c/3时等号成立，即f(x)的最小值为√(a²+b²+c²+ab-ac-bc)+c，最大值为√(a²+b²+c²+ab+ac+bc)+c。
3. 求极限
例题3：已知数列{a_n}(n≥1)的通项公式为a_n=(√n+1)/(n+1)，则求∑(n从1到∞)a_n的极限。
解法：根据基本不等式，有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知条件，可得：
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
极限为1/2。
4. 求证不等式
例题4：已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1，证明∑(a/(1-a))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)。
解法：将不等式化简，得：
∑(a/(1-a))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)
⇔(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)
⇔(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)²-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1，有
(ab+bc+ca)≤a²+b²+c²,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)²/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)
其中第一个不等式成立是因为当a=b=c=1/3时，等号成立；第二个不等式用到了基本不等式的形式。
综上所述，基本不等式是数学中的重要概念，掌握了基本不等式的定义、性质和应用方法，将有助于提高人们的数学素养和解题能力。在日常生活和学习中，要重视基本不等式的学习和应用，逐步提高自己的数学水平。
不等式的课件 篇6
学生初步接触了一点代数知识（如用字母表示定律，用符号表示数），是在学生学习了用字母表示数以后基础上进行学习。应用方程是解决问题的基础，有关的几个概念，教材只作描述不下定义。在教学设计中仍然把理念作为教学的重点，理解方程的意义，判断“等式”和“方程”知道方程是一个“含有未知数的等式”，才有可能明确所谓解方程。
学生不够活泼，学习积极性不是很高，学生数学基础不好。方程对学生来说还是比较陌生的，在他们头脑中还没有过方程这样的表象，所以授新课就要从学生原有的`基础开始，因为在前面学习用字母表示数的这部分内容时，有了基础，我想在学习简易方程应该没什么大的问题。
1、使学生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意义。
2、会按要求用方程表示出数量关系，
3、培养学生的观察、比较、分析能力。
教学重点： 用字母表示常见的数量关系，会用方程的意义去判断一个式子是否是方程。
教师介绍天平各部分名称。让学生操作当天平两端托盘的物体的质量相等时，天平就会平衡，指针指向中。根据这这个原理来称物体的质量。（让学生操作，激发学生的兴趣，借助实物演示的优势。初步感受平衡与不平衡的表象）
1、实物演示，引出方程：
（1）在天平称出100克的左边空杯，让学生观察是否平衡，感受1只空杯=100克。
（2）往空杯里倒入果汁，另一边加100克法码，问学生发现了什么？ （让学生感受天平慢慢倾斜，水是未知数）引出100+X＞200，往右加100克法码， 问：哪边重些？（学生初步感受平衡和不平衡的表象） 问：怎样用式子表示？100+X＜300
（3）教学100+X=250 问：如果是天平平衡怎么办？（让学生讨论交流平衡的方案）把100克法码换成50克的砝码，这时会怎样？（引导学生观察这时天平出现平衡）， 问：现在两边的质量怎样？现在水有多重知道吗？如果用字母X表示怎样用式子表示？得出：100+X=250
示题：100+X＜250100+X=2504X+50＞10040+40=80 X÷2=45X-12=27
请学生观察合作交流分类：
（一）引出（1）两边不相等，叫做不等式。（2）两边相等叫做等式。
（2）含有未知数的等式100+X=250 X÷2=4 揭示：（2）这样的含有未知数等式叫做方程（通过分类，培养学生对方程意义的了解） 问：方程的具备条件是什么？（感知必须是等式，而一定含有未知数）你能写出一些方程吗？（同桌交流检查）
（三）练习判断那些是方程？那些不是方程？
6+2X=14103+X250÷2=1256+X＞251÷A=3X+Y=180 （让学生加深对方程的意义的认识，培养学生的判断能力。）
教师：我们能够判断什么是方程了，方程和等式有很密切的关系，你能画图来表示他们的关系吗？（小组合作讨论交流）
方程 等式 （让学生通过观察、思考、分析、归类，自主发现获得对方程和等式的关系理解，同时初步渗透教学中的集合思想。）
不等式的课件 篇7
基本不等式作为高中数学必修内容之一，在学生学习中扮演着极为重要的角色。本篇文章将围绕基本不等式，探讨它的概念、性质、证明方法及应用，并展示基本不等式的魅力和实用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整数 $n$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
这个不等式也被称为均值不等式或AM-GM不等式。其中，$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示这些数的算术平均值，而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示这些数的几何平均值。均值不等式的意义在于，算术平均数大于等于几何平均数。
二、基本不等式的性质
基本不等式有以下几个性质：
1. 当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时等号成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一个数为 $0$，则 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$，这时等号成立。
3. 基本不等式可以扩展到实数范围内。
4. 均值不等式不等式对于大于 $0$ 的实数都成立。
三、基本不等式的证明方法
基本不等式有多种证明方法，下面列举其中两种：
方法一：数学归纳法
假设基本不等式对于 $n=k$ 时成立，即对于 $k$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
现证明它对于 $n=k+1$ 时也成立。将 $a_{k+1}$ 插入到原来的不等式中，得到：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此，我们只需证明以下不等式：
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
经过变形化简，可以得到：
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
显然，这是成立的。
因此，按照归纳法的证明方式，基本不等式对于所有的正整数 $n$ 都成立。
方法二：对数函数的应用
对于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，我们可以定义函数：
$f(x)=\ln{x}$
显然，函数 $f(x)$ 是连续的、单调递增的。根据式子：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到：
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
对于左边的式子，有：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
对于右边的式子，有：
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此，我们可以得到：
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即：
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
这正是均值不等式的形式。因此，基本不等式得证。
四、基本不等式的应用
基本不等式在数学和物理学中有广泛的应用。下面介绍几个常见的应用场景：
1. 最小值求解
如果有 $n$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和为 $k$，求它们的积的最大值，即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根据基本不等式，有：
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此，可以得到：
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
两边同时取幂，可以得到：
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函数的优化问题
如果 $f(x)$ 是一个凸函数，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正实数，$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意实数且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$，则有：
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
这是凸函数的优化问题中常用的基本不等式形式。它可以通过Jensen不等式或基本不等式证明。
3. 三角形求证
如果我们可以用 $a,b,c$ 表示一个三角形的三边长，则有：
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
这个不等式在三角形求证中也被广泛应用。
五、结语
基本不等式是高中数学必修内容之一，但其实它的应用范围远不止于此。在实际问题中，基本不等式常常能给我们提供有效的解决方案。通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解基本不等式的概念、性质、证明方法及应用，并能在实际问题中灵活运用。
不等式的课件 篇8
关于基本不等式的主题范文：
基本不等式是数学中非常重要的一道课题，所以我们需要从以下几个方面来对基本不等式进行介绍。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指数学中的一个重要定理，它表述的是任意正整数n及n个正数a1，a2，…，an的积与它们的和之间的关系。也就是说，对于任意正整数n和n个正数a1，a2，…，an，有以下不等式成立：
（a1+a2+…+an）/n ≥ （a1×a2×…×an）1/n
其中，等式成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的证明
下面我们来看一下基本不等式的证明过程。
首先，如果我们令Ai = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n，则我们可以将原不等式转化为：
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下来，我们来看一下如果证明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，那么我们就可以证明基本不等式，因为不等式具有对称性，即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n，则(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下来，我们证明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，即：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
将不等式右边两边平方，得到：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
这时，我们来观察右边的式子，将式子中的每一项都乘以(n-1)，得到：
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
继续进行简化，得到：
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左边乘以1/n，右边除以(n-1)，得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
这样我们就完成了基本不等式的证明。
三、基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用非常广泛，下面我们来看一下其中的几个例子。
1. 求平均数
如果我们已知n个正数的积，需要求它们的平均数，那么根据基本不等式，我们可以得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式两边都乘以n-1，得到：
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
这样我们就可以求得平均数：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求数列中n个数的积的最大值
假设我们需要从数列{a1, a2, …, an}中选取n个数，求它们的积的最大值。根据基本不等式，我们有：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因为我们需要求积的最大值，所以当等式左边的和恰好等于n个数的积时，这个积才能取到最大值。因此，我们可以得到：
a1 = a2 = … = an
这样，我们就得到了求数列中n个数的积的最大值的方法。
三、结论
通过对基本不等式的介绍，我们可以发现它不仅仅是一道看似简单的数学题目，而是一个非常重要的定理，有着广泛的应用价值。希望大家能够在今后的学习中更加重视基本不等式，并能够深刻理解它的实际应用。
不等式的课件 篇9
基本不等式是高中数学中重要的一部分，也是初学者比较难掌握的一个概念。通过学习基本不等式，可以帮助学生理解不等式的基本概念、性质和运算。同时，对于高中数学，基本不等式还有很多相关的题型需要掌握，比如极值问题、夹逼定理等。本文将从基本不等式的定义开始，探讨其相关概念、性质和应用。
一、基本不等式的定义
基本不等式是指对于任意正实数a、b，有以下不等式成立：
（a + b）² ≥ 4ab
这个不等式也可以写成：
a² + b² ≥ 2ab
这个不等式的含义是：对于任意两个正实数a、b，它们的平均数一定大于等于它们的几何平均数。
二、基本不等式的证明
对于任意实数x，y，可以用(x-y)²≥0来证明基本不等式：
(x-y)²≥0
x²-2xy+y²≥0
x²+y²≥2xy
将x换成a、y换成b，即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相关概念
1. 等式条件：
当且仅当a=b时，等式成立。
2. 平均数与几何平均数：
平均数指的是两个数的和的一半，即(a+b)/2；几何平均数指的是两个数的积的二分之一，即√(ab)。由于基本不等式的成立，可以得出平均数大于等于几何平均数的结论。
3. 关于两个数之和与两个数的比值的关系：
从基本不等式得到如下两个等式：
(a+b)²=4ab+(a-b)²；ab≥(a+b)/2
以上两个式子给出了两个关于两个数之和与两个数的比值的关系。
四、基本不等式的性质
1. 交换律和结合律：基本不等式满足交换律和结合律。
2. 反比例函数：若f(x)=1/x，x>0，则f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)对于a,b>0成立。
3. 带约束的基本不等式：若a,b>0，且a+b=k，则(a+b)/2≥√(ab)，即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的应用
1. 求证夹逼定理：如果a1≤b1≤c1，且a2≤b2≤c2，则(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判断一个二次函数的最大值或最小值：由于二次函数的导数为一次函数，可以通过求导得到函数的极值。而基本不等式可以用于判断二次函数的极值点是否合理，即是否在定义域内。
3. 算术平均数和几何平均数之间的关系：通过基本不等式可以证明，当两个数的和固定时，它们的平均数越大，它们的几何平均数就越小。
总的来说，基本不等式是高中数学不可缺少的一部分，不仅在考试中占有重要地位，而且还具有很重要的理论意义。希望本文对初学者掌握基本不等式有所帮助。
不等式的课件 篇10
教学目标：
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.
2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
1.张大爷买了一个手机，想办理一张电话卡，开米广场移动通讯公司业务员对张大爷介绍说：移动通讯公司开设了两种有关神州行的通讯业务：甲类使用者先缴15元基础费，然后每通话1分钟付话费0.2元；乙类不交月基础费，每通话1分钟付话费0.3元。你能帮帮张大爷选择一种电话卡吗？
2.展示学习目标：
（1）、理解一次函数图象与一元一次不等式的关系。
（2）、能够用图像法解一元一次不等式。
（3）、理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式。
积极思考，尝试回答问题，导出本节课题。
阅读学习目标，明确探究方向。
问题1：结合函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：
问题2：如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?当x取何值时，y
巡回每个小组之间，鼓励学生用不同方法进行尝试，寻找最佳方案。答疑展示中存在的问题。
问题3.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥分追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
你是怎样求解的？与同伴交流。YJS21.Com
问题4：已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.
让学生体会数形结合的魅力所在。理解函数和不等式的联系。
移动通讯公司开设了两种长途通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元。若设一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元，那么
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
（3）求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯方式费用相同；
（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式较合算？
在共同探究的过程中加强理解，体会数学在生活中的重大应用，进行能力提升。
积极完成导学案上的检测内容，相互点评。
学生回顾总结学习收获，交流学习心得。
教材P51.习题2.6知识技能1；问题解决2,3.
一、学习与探究：
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系；
2.做一做（根据函数图象求不等式）；
四、课后作业：
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